SafariでタブのタイトルがWebサイトのタイトルと同じにならないなと思っていてら、原因判明しました。お気に入りバーのフォルダを右クリックして、「すべてをタブで開く」で表示すると、ブックマークのタイトルと同じになってしまうようです。試しに、個別にブックマークを選択して、表示しておくと、更新されるようになりました。
iCloudのWebメールを使っているときに、新着メールが来たことがわからず、微妙に困っていたのですが、これで解決です。iCloudのWebメール、未読件数やメールボックス内の件数をタイトルに表示してくれるのですが、更新されないでいたので、タブを切り替えないとわからない状態でした。
問題が起きていたのは、OS X 10.9.4上のSafari 7.0.6です。他のバージョンだと起きなかったりするようです。OS X 10.6.8上の古いSafariだと起きなかったです。